0 引 言
随着需求的推动和技术的发展，相控阵天线在雷达、通信和测控等各个领域得到广泛应用，展现出低/超低副瓣、波束灵活赋形、扫描、多波束以及易于构建高增益阵面等多种优点［1］。有限视场扫描雷达，例如同步轨道对地通信雷达［2］和合成孔径雷达［3］，其波束扫描角度范围很小。为了降低雷达阵面的成本，通常采用单元级/子阵级稀疏或稀布，然而这种设计可能会导致雷达阵面出现栅瓣现象。
为了解决栅瓣问题，已有许多研究探索了不同的抑制方法，其中一种有效的方法是子阵重叠技术。通过Butler 矩阵或透镜馈电网络实现子阵重叠，并通过调节子阵内单元的幅度值，形成具有“平顶波瓣”特征的子阵方向图，这在有限扫描条件下能够有效抑制全阵的栅瓣现象［4］。另一种方法是打破阵因子的周期性，以避免栅瓣位置的能量有效叠加，从而实现栅瓣抑制。常用的破坏子阵周期性的方法包括平移、旋转、错位和不同规模子阵的拼接组合。Hansen 最早提出通过随机化子阵相位中心来破坏周期性结构，从而降低最大栅瓣电平［5］。采用规则矩形子阵的旋转布阵、不等间距平移或不同大小子阵的随机布阵，都可以有效抑制周期性栅瓣［6］，这一方法在大型相控阵中已得到应用［7］。此外，文献［8］通过结合幅度加权优化不同大小的子阵来抑制栅瓣。然而，这些方法往往存在物理口径利用率较低或子阵种类繁多的问题，这不利于低成本工程的实现。
非规则子阵同样能够有效破坏子阵相位中心的周期性，从而抑制栅瓣［9-16］。Mailloux 等在其研究中首次提出了基于“L”形多米诺骨牌子阵的布阵方法［9］。尽管子阵形状相同，这有助于降低工程设计难度，但在大规模阵面中对优化算法提出了更高的挑战。为了解决子阵密铺的问题，各种优化算法相继被提出，如遗传算法［10］、X 算法［11-12］和凸优化算法［13-15］等。这些算法在小型或中等规模阵面中表现良好，但对于大规模阵面，随着优化变量的增加，优化时间急剧增加，甚至可能无法收敛。因此，分层子阵的设计策略应运而生［16］。
以上所有方案均依赖复杂的优化算法进行天线子阵的排布。为降低优化复杂度，一些新颖的无需优化天线子阵位置的布阵方法被提出［17-19］。例如，文献［17］提出了一种基于钻石型瓦片的非周期密铺子阵划分技术，采用将圆形天线阵以阵面中心为圆心划分为N 个全等扇区，并在每个扇区内实现密铺。当N=11 时，天线阵面的最大副瓣约为-18 dB。文献［18］分析了6 种典型非周期密铺平面阵面的辐射波瓣特性，其中天线单元被放置在片的顶点处。此外，还有基于Penrose 和Danzer密铺的研究［19］，结合优化算法，仅优化每个片内天线单元的位置，在宽带内实现低副瓣，由于优化变量较少，时间成本显著降低。
本文提出了一种新型基于非周期瓦片实现平面密铺的天线阵面。这种阵面具备非周期性和完美填充的特点，不仅充分利用了阵面物理口径，还有效消除了周期性结构带来的栅瓣问题。此外，天线阵面布局无需借助复杂的优化算法，仅需对瓦片内少数天线单元位置进行优化，即可获得良好的效果。
1 非周期单片
自20 世纪60 年代初以来，数学家们一直致力于寻找一种非周期瓦片，它能够且仅能实现非周期的平面密铺。这种非周期瓦片被称为“Einstein”，源于德语的“ein stein”，意思是“一块石头”。直到2023 年4 月，史密斯等人发现了第一个非周期瓦片，命名为“帽子”瓦片，由8 个风筝组成。另一种是“乌龟”瓦片，由10 个风筝组成。非周期性瓦片的发现对数学和其他学科都具有重要意义［20］。
所述的风筝瓦片，其形状如图1（a）所示，它是组成非周期瓦片的基本图形。显然，图1（b）中的非周期瓦片是非对称形状，其镜像图形如图1（c）所示。值得注意的是，在物理、化学和工程等领域，这两种瓦片是可区分的，但在数学领域，它们的拓扑结构是相同的，可认为是同一种。
图1 风筝瓦片与非周期瓦片的关系
2 数值仿真分析及验证
2.1 示例A：帽子瓦片内包含一个天线单元
对于位于x-y 面的天线阵，天线阵的波瓣图可以表述为
式中，N 为阵面单元数量，EFn( θ,φ )为单元波瓣图，k 为自由空间波数（k =2π/λ），An 为第n 个单元激励电压幅度，（xn,yn）为第n个单元的坐标。
对于非周期密铺的相控阵天线阵面，天线单元的最小间距定义为［19］
式中，dn为第n个天线单元与周围天线单元之间的距离。
天线单元之间的等效间距定义为
式中Sarray为天线阵面的面积。
本文引入一个六边形瓦片作为参考，基于六边形瓦片和帽子瓦片密铺的阵面布局分别参见图2（a）和图2（b）。天线阵面为圆形电口径，直径约为25λ0。每个天线单元分别设置在对应瓦片的中心。为了保证两种瓦片的面积均等于
，六边形瓦片和帽子瓦片的边长分别设定为
和
。这两种瓦片对应的有源通道（天线子阵）数均为238 个，每个非周期瓦片对应一个有源通道。由公式（3）可知，两个阵面中天线单元的等效间距deq也相同。
图2 不同的天线阵面布局示意图（天线单元的位置标记为实心点）
这两种阵面布局的仿真波瓣图参见图3（a）和图3（b），相应阵面特性如表1 所示。由于六边形瓦片密铺的阵面是规则排布，且相邻单元间距大于1λ0，因此波瓣图有明显的栅瓣，最大栅瓣电平为-3.7 dB。采用帽子瓦片阵面布局，虽然相邻单元最小间距仍大于1 λ0，但由于帽子瓦片密铺的非周期性，有效地降低了栅瓣电平，最大栅瓣电平为-9.5 dB，与六边形瓦片密铺的布局相比，最大栅瓣电平降低了约5.8 dB，证明了非周期瓦片在阵因子栅瓣抑制中的有效性。
表1 不同天线阵面布局的几何及辐射特性对比
阵面布局天线子阵数等效间距（deq）最小间距（dmin）方向性系数/dB最大栅瓣值/dB 238 1.414λ0 1.519λ0 30.90-3.7 238 1.414λ0 1.186λ0 31.25-9.5?238 1.414λ0 0.838λ0 31.52-15.0
图3 图2中不同天线阵面布局对应的仿真波瓣图
为了进一步提升栅瓣抑制效果，采用优化算法对帽子瓦片内的单元位置进行优化。基于优化后的帽子瓦片，密铺阵面的布局如图2（c）所示，仿真的波瓣图参见图3（c）。显然，优化后的栅瓣被进一步打散，更均匀地分布到整个副瓣空间内，最大栅瓣电平为-15 dB，相比于六边形瓦片密铺阵面，栅瓣电平降低了11 dB。
天线阵面的口径利用率计算公式为
式中，D0 为天线阵面法向最大方向性系数，A 为天线阵口径面积。参见表1，优化后的天线阵面的法向方向性系数为31.52 dB，经计算可得该天线阵的口径利用率为23.7%，这是由于没有充分利用天线阵面口径。因此，增加帽子瓦片内的单元数，可以由包含多个天线单元的子阵代替，充分利用天线子阵的面积，对增加天线阵面增益是非常有效的手段。
2.2 示例B：帽子瓦片内安置8个天线单元
为了提升阵面口径利用率，在帽子瓦片内安置8 个天线单元，采用无源网络合成后与1 个有源通道连接。首先，8 个天线单元分别规则地安置在8 个风筝片的质心处，基于该帽子瓦片子阵密铺的阵面参见图4（a），天线阵面在法向、扫描10°和15°的仿真波瓣图参见图4（b）～（d）。
图4 天线阵面规则布局及波瓣图
如图5所示，对于图4（a）的布局，阵面法向波束的第一副瓣和最大栅瓣值分别约为-17 dB和-35.8 dB，显然栅瓣得到很好的抑制。当天线阵面扫描角度增加时，其最大栅瓣值也随之增加，但第一副瓣的增幅较小；当波束扫描角度在13°左右时，最大栅瓣与第一副瓣电平值相当；当波束扫描大于13°时，最大栅瓣电平值大于第一副瓣电平值。
图5 等加权态，规则布阵及随机布阵的第一副瓣、最大栅瓣及口径效率的对比
为了进一步提升天线阵面的波束扫描范围，利用优化算法，优化8个天线单元在对应的风筝片内位置。优化后的帽子瓦片布局见图6（a），相应的阵面法向、扫描10°和15°的仿真波瓣图如图6（b）～（d）所示。参见图5，相对于图4（a）规则阵面布局，优化后阵面的第一副瓣与其相当，但是在扫描角15°以内，最大栅瓣增加缓慢，且栅瓣值低于-20 dB；当优化后阵面的扫描角到18°时，最大栅瓣电平与第一副瓣相当，显然，优化后的天线阵面的扫描角得到有效扩展。
图6 天线阵面优化布局及波瓣图
另外，优化后的阵面口径利用率约为90%。这主要是由于优化后阵面内各个天线单元的位置分布很不均匀，这会导致天线单元的投影等效面积无法完全覆盖整个天线口径，但是该天线阵面在±15°范围内具有更优的栅瓣抑制效果，对于中低轨卫星具有较好的应用前景。
2.3 先进性对比
本文相比于已发表论文的先进性对比参见表2。文献［13，15］中瓦片数量只有一个，对于工程应用是非常具有吸引力，但是天线阵面布局的密铺是基于优化算法对每个子阵的位置进行迭代优化，随着阵面规模扩大，优化变量增加，优化难度会剧增，而本文中天线子阵的排布无须优化，针对不同的扫描范围，仅需对每个子阵（瓦片）内的少数的天线单元位置进行优化。文献［17，21］中的天线子阵排布也无须依赖辅助的优化算法，布阵简单。但是文献［17］中的钻石形片是属于周期性瓦片，另外，文献［17］中的阵面布局有一个明显的等效中心，由于该天线阵面具有旋转对称性，若天线阵面仅开启部分天线子阵或者工作于多波束模式，其栅瓣抑制能力会降低。而本文中的天线阵面无任何周期性及旋转对称性，可以在仅开启部分的天线子阵或者工作于多波束模式，其仍具有较高的栅瓣抑制能力。文献［21］中天线阵面排布的是由两种瓦片组成的非周期性片组（彭罗斯非周期片组）。综上所述，本文是唯一的基于非周期瓦片密铺的天线阵面。因此，基于非周期瓦片的天线阵布局具有单一的子阵类型和非周期密铺优点，具有很好的栅瓣抑制能力，是一种非常有潜力的阵面设计方案。
表2 先进性对比表
★: 薄瓦片和厚瓦片的数量分别为35和25。
☆: 薄瓦片和厚瓦片的数量分别为2.1λ2和3.4λ2。
◆: 方位和俯仰面最大副瓣值。
对比项瓦片类型的数量瓦片的类型瓦片/片组的数量瓦片/片组的面积副瓣/栅瓣最大值/dB示例A 1非周期瓦片238 2λ2-15@（0°，0°）示例B 1非周期瓦片238 2λ2-17.8@（0°，0°）文献［13］1周期瓦片54 2λ2-9.6◆@（20°，0°）文献［15］1周期瓦片54 2.3λ2-15.2◆@（20°，0°）文献［17］1周期瓦片242 1.87λ2-18.2@（0°，20°）文献［21］2非周期片组25/35★2.1λ2/3.4λ2☆-17@（20°，20°）
3 结束语
本文首次提出了一种基于非周期瓦片的密铺平面阵。与传统的非周期片组相比，文中所使用的帽子形非周期瓦片仅需一种类型，这在工程应用中具有显著优势。相较于传统的周期瓦片，本文提出的非周期瓦片在阵面密铺过程中无需依赖复杂的优化算法，从而大大降低了优化成本。此外，只需对瓦片内少量的天线单元进行位置优化，即可实现出色的栅瓣抑制效果和高口径利用率，这对于有限视场的相控阵雷达，尤其是星载雷达，具有极高的应用前景。
［1］ 张光义.相控阵雷达原理［M］.北京:国防工业出版社，2009.
［2］ BENCIVENNI C, IVASHINA M V, MAASKANT R，et al.Synthesis of Maximally Sparse Arrays Using Compressive Sensing and Full-Wave Analysis for Global Earth Coverage Applications［J］.IEEE Trans on Antennas and Propagation, 2016, 64（11）:4872-4877.
［3］ 邢楷初，王宇，洪峻，等.GEO SAR 天线波束指向定标中的误差分析［J］.雷达科学与技术，2023，21（1）:64-73.
［4］ AVSER B, FRAZITA R F, REBEIZ G M.Interwoven Feeding Networks with Aperture Sinc-Distribution for Limited-Scan Phased Arrays and Reduced Number of Phase Shifters［J］.IEEE Trans on Antennas and Propagation,2018, 66（5）:2401-2413.
［5］ HANSEN R C, CHARLTON G G.Subarray Quantization Lobe Decollimation［J］.IEEE Trans on Antennas and Propagation, 1999, 47（8）:1237-1239.
［6］ KRIVOSHEEV Y V, SHISHLOV A V, DENISENKO V V.Grating Lobe Suppression in Aperiodic Phased Array Antennas Composed of Periodic Subarrays with Large Element Spacing［J］.IEEE Antennas and Propagation Magazine, 2015, 57（1）:76-85.
［7］ CRAWFORD J F, REED E,HINES J J, et al.Ground Based Radar-Prototype（GBR-P） Antenna［C］// IEE National Conference on Antennas and Propagation, York,UK: IET, 1999:249-252.
［8］ HAUPT R L.Optimized Weighting of Uniform Subarrays of Unequal Sizes［J］.IEEE Trans on Antennas and Propagation, 2007, 55（4）:1207-1210.
［9］ MAILLOUX R J, SANTARELLI S G, ROBERTS T M.Wideband Arrays Using Irregular （Polyomino） Shaped Subarrays［J］.Electronics Letters, 2006, 42（18）:1019-1120.
［10］ JIANG Yi, ZHANG Shu, GUO Qiang, et al.Synthesis of Uniformly Excited Concentric Ring Arrays Using the Improved Integer GA［J］.IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2016, 15（6）:1124-1127.
［11］ MIAO Ke, ZHANG Yi, YAO Chen, et al.Improved Algorithm X for Subarray Partition with Acceleration and Sidelobe Suppression［J］.IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2022, 21（7）:1403-1407.
［12］ JIANG Hailing, GONG Yu, ZHANG Junyi, et al.Irregular Modular Subarrayed Phased Array Tiling by Algorithm X and Differential Evolution Algorithm［J］.IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2023, 22（7）:1532-1536.
［13］ DONG Wei, XU Zhenhai, LIU Xinghua, et al.Modular Subarrayed Phased-Array Design by Means of Iterative Convex Relaxation Optimization［J］.IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2019, 18（3）:447-451.
［14］ ZHAO Feng, PAN Xiaoyi, XIE Qianpeng, et al.A Grating Lobe Suppression Method Based on Convex Relaxation Iterative Optimization in Limited-Scanning Planar Array［J］.IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2023, 22（6）:1426-1430.
［15］ DONG Wei, XU Zhenhai, LIU Xinghua, et al.Irregular Subarray Tiling via Heuristic Iterative Convex Relaxation Programming［J］.IEEE Trans on Antennas and Propagation,2020, 68（4）:2842-2852.
［16］ LI Xinxin, DONG Wei, XU Zhenhai, et al.Hierarchical Array Design Strategy Composed of Irregular and Overlapped Subarrays in Large-Scale Planar Array［J］.IEEE Trans on Antennas and Propagation, 2021, 69（7）:4217-4222.
［17］ MAKINO S, KADOGUCHI S, BETSUDAN S I, et al.An Aperiodic Array Antenna Using Diamond Tiles as Subarrays［C］// 3rd European Conference on Antennas and Propagation, Berlin, Germany:［s.n.］, 2009:3479-3482.
［18］ PIERRO V, GALDI V, CASTALDI G, et al.Radiation Properties of Planar Antenna Arrays Based on Certain Categories of Aperiodic Tilings［J］.IEEE Trans on Antennas and Propagation, 2005, 53（2）:635-644.
［19］ SPENCE T G, WERNER D H.Design of Broadband Planar Arrays Based on the Optimization of Aperiodic Tilings［J］.IEEE Trans on Antennas and Propagation, 2008,56（1）:76-86.
［20］ SMITH D, MYERS J S, KAPLAN C S, et al.An Aperiodic Monotile［J］.arXiv, 2023.http://arxiv.org/abs/2303.10798.
［21］ ISERNIA T, D’URSO M, BUCCI O M.A Simple Idea for an Effective Sub-Arraying of Large Planar Sources［J］.IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2009,8:169-172.