0 引 言
在现在雷达目标跟踪系统中，航迹起始通常是对目标跟踪的第一步，它通过从雷达回波获得的多个点迹中识别出真实运动目标并形成新的跟踪航迹的过程［1-2］。这些量测点迹可能来自目标本体，或来自环境中的杂波、干扰等［3-4］。因此航迹起始质量关系着整个跟踪过程，有效的起始能为后续关联与滤波提供高质量状态初值，保障跟踪持续性；而虚假起始将直接降低输出可信度［5］。受复杂雷达环境与量测来源不确定性的影响，航迹起始的输入量测难以有效确定，使得该问题成为数据处理领域的研究热点。
现有雷达目标航迹起始方法主要分为顺序处理与批处理两大类［6-7］。顺序处理方法计算量小、起始速度快，在弱杂波环境下效果优异［8-9］；然而，其在强杂波下的性能急剧下降。相较之下，批处理方法虽在强杂波中能实现精准航迹起始［10-11］，但其巨大的计算开销会导致效率低下与航迹起始延迟。
M/N逻辑法是典型的顺序处理法，基于“连续多帧关联确认”原则，通过检测目标在N次扫描中至少出现M次来区分真实目标与随机杂波，因计算实时性强被广泛应用。余沙等［12］通过两阶段架构解决高杂波航迹起始问题，通过前端网格聚类分割目标点并滤除杂波，后端改进逻辑法采用动态波门与阶段性M/N规则起始航迹。姚直象等［13］针对在背景干扰下易产生虚假航迹的问题，提出一种基于逻辑法的宽带声接触航迹起始算法。张星等［14］针对探测系统航迹起始的计算效率问题，提出一种融合斜距信息的改进M/N逻辑法。该方法在传统M/N逻辑法基础上，引入斜距量测值作为二次波门约束。这些方法提升了算法在强杂波环境下的抗扰性。然而，M/N逻辑法是通过多帧关联计数完成起始，这些方法未考虑点迹具有的空间直线特征，仅依赖运动门限的设置，在强杂波环境下难以保证起始性能。
Hough变换航迹起始法是基于批处理的典型方法［15］。其核心机制是将探测点迹投射至参数空间实现积累，并通过阈值检测累积结果，一旦某单元的累积量满足阈值判据，便触发一条航迹起始。该方法具备一次处理多点迹并批量起始航迹的特点。薛俊杰等［16］融合序列Hough变换与逻辑法破解高杂波环境航迹起始难题，通过逐帧独立Hough累积避免无效投票，利用峰值聚类自适应提取目标点，逻辑法关联验证抑制虚假轨迹。张耀升等［17］为了在强杂波的环境下有效地起始航迹，使用标签记录回波数据的时序信息，并通过速度门限和时序特征信息对截获的数据进行关联，同时结合 Hough 变换的方法，可以在低概率目标点迹截获下实现航迹起始。这些方法利用Hough变换的积累特性，在高杂波场景中能够获得较高的航迹起始率。然而，针对强机动目标，这些方法主要依赖二维平面点迹信息进行起始跟踪，未能充分利用雷达探测中的多维信息，在高杂波场景中信息利用不足可能会无法适应多变的跟踪场景。
现代战场环境下目标机动性急剧提升，隐身战机等高速目标的航迹必须在极短的时间内完成起始，否则将直接导致后续跟踪环节失效［18］。而雷达系统处理大量点迹，若起始阶段误将杂波确认为目标，不仅产生大量无效计算负载，更会抢占真实目标的跟踪资源。因此，必须同时对动态场景下的实时处理效率与起始精度进行协同权衡［19］。常规的基于Hough变换的航迹起始方法仅考虑二维信息，造成信息损失。为此，本文提出一种基于Roberts直线表示的三维空间约束航迹起始算法。首先应用目标运动学先验信息和物理特性对点迹进行粗筛，降低待处理数据量，提高目标起始速度；随后为了充分利用三维量测信息，采用Roberts表示法构建空间直线轨迹的表征模型，并采用修正Hough变换框架，以此提高强杂波干扰下的航迹起始率。
1 基于三维空间约束的航迹起始方法
基于三维空间约束的航迹起始方法在接收到雷达连续多帧量测后，首先通过运动学物理约束对原始点迹进行高效粗筛，降低高杂波环境下的数据量以避免直接对所有点迹作参数空间变换导致的庞大计算量；之后将筛选后的候选点迹送入起始流程，利用高效无奇异的Roberts三维直线表示法，通过定义旋转平面B及投影坐标，以4个参数唯一表征目标匀速直线运动轨迹，描述潜在目标运动；最终基于修正的Hough变换框架，计算直线Roberts参数，并在参数空间进行统计加权累积，依据量测噪声特性设定归一化距离卡方门限，实现航迹的鲁棒起始。
1.1 三维空间直线的Roberts表示法
在航迹起始算法中，新目标的初始状态完全未知，通常被假设为匀速直线运动，因此需要用合适的直线模型来描述目标轨迹。为了准确处理雷达量测点并判断它们是否共线，需要一种有效的方式来表示空间中的直线。常用的三维空间直线表示法包括Roberts和Plucker表示法。Plucker坐标表示法虽然能够完整描述一条空间直线，但其使用了6个参数，存在参数冗余问题。更重要的是，它在某些特殊情况下会遇到奇异性问题，需要额外的特殊处理机制，这会影响算法实现的效率和稳定性。而Roberts表示法［21］仅采用4个参数
表示三维空间中的直线，其参数数目较Plucker坐标显著减少，在避免冗余的同时，也通过特定的构造方式消除了奇异性问题，是更高效且稳健的空间直线描述方式，下文将对直线的Roberts表示法进行详细介绍。
在三维直角坐标系(x,y,z)三维空间中最直观的直线表示法是点向式：
式中，p=(px,py,pz)为直线上的一个定点，a=(ax,ay,az)是其方向向量，该方法表示共需6个标量参数。但是这种通过6个变量进行表示较为冗余，为了优化表示，引入单位方向向量约束和正交位置约束，可减少两个变量，其中单位方向向量约束为
约束后自由度可以降至为2。
同时正交约束满足：
该约束固定了p为直线到坐标原点的垂足，将位置自由度降至2。这种表示利用单位向量a和正交约束下的p，理论上形成4自由度表示。尽管参数数量匹配了自由度，奇异性问题本质上仍未解决。当方向向量与各直角平面垂直时，直线表示会出现奇异性问题。该奇异性问题导致此类直线在Hough变换中无法建立统一的累积空间，严重影响变换的完备性。
为克服上述奇异性难题，Roberts提出了一种四参数表示法。其核心思想是避免直接参数化方向向量a，转而利用其在标准坐标系中的投影效果来隐式表示方向和平面的位置关系，从而规避方向参数本身的奇点问题。首先定义平面B，如图1所示，一个经过坐标原点O且其法向量平行于直线方向向量a的平面，平面B实质上是所有与a正交的向量构成的空间的二维子空间。Roberts表示法的直线是一个四元组
，其中ax和ay的定义同点向式，而
和
是点p在平面B上二维直角坐标系内的投影坐标。但是要计算
和
首先需要确定B平面内的坐标框架。Roberts表示法的核心在于在平面B上构建一个特定的二维直角坐标系来表示点p，首先定义旋转矩阵，该矩阵将原坐标系的z轴旋转至与方向向量a对齐，其中旋转矩阵A表示为
图1 Roberts表示法示意图
同时，同样受到单位向量方向约束条件的保证，该旋转矩阵在z轴与单位向量平行时同样成立，所以没有奇异情况出现，适合统一Hough累积空间的构建。这时原三维坐标系中的x轴和y轴映射为平面B内的坐标轴x'和y'，所以点p在平面B的投影
和
可以表示为
通过Roberts表示法，参数复杂度降低，减少了参数搜索空间维度且无冗余运算。同时规避了方向向量在特殊方向处固有的导数和拓扑奇点问题。
1.2 基于Roberts表示法的航迹起始方法
Roberts表示法通过四参数量化有效消除了三维空间直线描述中的奇异性问题。然而，若仿照标准的Hough变换框架应用Roberts表示法，需在一个四自由度的参数空间中对所有采样点进行穷举式搜索与累加。这一过程需要通过离散化参数单元并将每个点映射至相应区间进行累积判断［21］。该方法的计算开销庞大，导致累积效率受到严重制约［22］。因此如果对所有的量测都进行三维参数空间变换，将会占用大量资源，起始效率将会大幅度下降。考虑到目标起始的速度关系着后续跟踪，且部分量测组合不符合目标运动学规律，因此，本文首先通过物理先验信息和空间约束对量测点迹进行粗筛形成暂态航迹，其次，根据修正Hough变换的框架，计算暂态航迹对应的Roberts参数，最后基于归一化门限判断是否起始航迹。
1） 约束点迹筛选
设
,lk表示时刻k的第i个量测点迹，其中
，
和
分别表示径向距离、方位角和俯仰角。假定雷达在第k、k+1和k+2扫描时刻分别接收到三帧量测，分别为
和
。在真实的战场中目标的运动需要符合物理规律，目标的特性导致了运动存在着限制，因此，首先对雷达量测点迹方位角和俯仰角进行直接约束。同时速度是衡量一个目标变化的重要指标，不同的目标径向速度存在着显著的差别，因此假设方位角和俯仰角的门限分别为θmax和φmax。对目标运动特性分析，获得目标的最大径向速度Vmax和最小径向速度Vmin，之后对雷达获得的不同帧之间所有量测组合进行遍历求解，获得第k帧和第k+1帧量测间的径向速度Vij，方位角之差θij，俯仰角之差φij，以及第k+1帧和第k+2帧量测间的速度Vjm，方位角之差θjm，俯仰角之差φjm：
式中，T为量测采样间隔。
将三帧量测组合中Δk、Δk+1不符合门限的组合直接剔除。保留符合约束的组合进行下一步处理。
2） Roberts参数求解
当空间中的多个采样点共线时，计算出的Roberts参数会呈现高度相似性。通过对这些计算出的参数组合进行累积计数，当某组参数累积值超过预设门限，即判定发现同一直线上的多个点迹，认为它们来自于同一个目标，从而达成直线航迹识别目标［23］。
在三维空间中任意给定两点(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)可确定一条直线。首先计算直线的单位方位方向向量：
在本文中，将量测作为3维空间点进行计算。
当az小于0时，对单位向量的每个分量取负值，以保证单位向量的约束关系。然后，基于位置约束和直线方程，解算出原点O到该直线的垂足点坐标：
通过旋转矩阵将垂足映射至平面B，即可获取采样直线的Roberts参数四元组。但是在真实环境中，受到各种因素影响实际目标采样会受点坐标误差影响，导致Roberts参数计算结果具有不确定性，从而引发两次采样直线参数是否一致的判别问题。常规解决策略是根据量测误差预设一个容错阈值，若两参数间的距离量度小于该阈值，则判定它们为相同直线，来自于同一个目标。因此，定义参数四元组的距离模型及确定阈值选取方法，成为解决该问题的核心。进一步地，可通过在真值附近进行一阶泰勒展开分析误差传播特性：
式中，
式中各项微分可理解为采样点坐标噪声，通过这种形式可以建立误差参数与采样噪声的显式关联。基于同构推导原理，同样可将
展开为噪声向量的线性叠加形式：
显然，
的噪声与采样点的坐标位置有关，尤其与采样点间距呈显著反比关系。因此，增大采样点间距可有效抑制估测方差。除此之外Roberts参数中角度参数亦可解析为线性噪声叠加模型：
式中，
同样角度参数ay也有相似的表达式：
式中，
假设每个采样点的噪声相互独立，两次直线抽样的4个采样点的Roberts参数归一化距离可以表示为D(R1,R2)=
式中，求和下标1，2和3，4分别对应两次独立采样构建的Roberts参数四元组所含传感器采样点［24］，该距离量为无量纲标量。理论分析表明，其与各坐标分量存在复杂非线性耦合，且解析分布形式难以显式表征。但基于中心极限定理，多重噪声叠加效应可渐进逼近高斯分布。在传感器误差服从零均值高斯白噪声假设下，归一化距离服从自由度为15的卡方分布。取95%置信水平下的统计临界值，得阈值为23.996。
3）基于修正Hough变换框架的算法详细流程
输入雷达在第k、k+1和 k+2扫描时刻分别接收到三帧量测为
和 
。
①设置径向速度门限Vmax和Vmin，方位角门限θmax，俯仰角门限φmax。
②取雷达第k帧的第i个量测
，第k+1帧的第j个量测
，第k+2帧的第m个量测
，根据式（8）和式（9）计算所有量测组合对应的Δk和Δk+1，将满足门限的量测组合保存下来。
③在保存的量测组合中，根据式（6）～（7）和式（10）～（11）计算第k帧与第k+1帧量测的参数
，第k+1帧与第k+2帧量测对应的参数
。
④根据式（12）～（33）计算差分参数，并根据式（34）计算归一化距离，归一化距离小于参考门限的量测组合为确认航迹。
⑤对确认航迹进行交错起始检测：若两条航迹有两帧或以上量测重复，标记为冲突航迹对。
⑥计算冲突航迹对的径向速度一致性：△V=|Vij -Vjm|，其中Vij和Vjm为相邻帧间径向速度。保留△V较小的航迹，移除△V较大的交错航迹，得到最终航迹集合。
整体算法流程图如图2所示。
图2 算法流程图
2 仿真实验与结果分析
为了验证所提方法的有效性，本节设置了一个存在两个目标的仿真场景，通过航迹起始率和虚假航迹起始率对所提方法进行评估并与其他的航迹起始方法进行对比，以此验证所提方法的性能。
2.1 仿真场景设置
为验证所提算法的有效性及复杂场景下算法性能，设置两个仿真场景进行验证。
场景一：假设有两个临空高超声速目标，其飞行轨迹如图3所示，雷达位置为[35.6°,86°,0 m]，雷达最远探测距离为600 km，图中轨迹红色段为雷达可观测轨迹段。
图3 航迹起始仿真场景一
场景二：假设有5个高超声速目标，其飞行轨迹如图4所示，雷达位置为[36.4°,66°,0 m]，雷达最远探测距离为600 km，图中轨迹红色段为雷达可观测轨迹段。
图4 航迹起始仿真场景二
每帧数据的虚警点数服从泊松分布，泊松分布均值为λ，产生的虚警点按均匀分布随机地分布在雷达视域内。速度约束条件vmin=5 Ma，vmax=20 Ma，假设目标侧向运动导致的角度变化量为△α，目标径向距离为ρr，目标侧向速度为△v，则由侧向位置的变化与侧向角度变化量的对应关系为
假设△v=20 Ma，ρr=600 km，估算得到△α≈0.327 5°，考虑到量测误差的存在，设置相邻两帧角度约束条件θmax=1°，φmax=1°；设置归一化距离门Dmax为23.996。
2.2 仿真结果评价标准
在雷达航迹起始研究中，航迹起始成功率和虚假航迹率是常用的算法验证评估标准。其中航迹起始成功率是指在多次实验中成功起始的目标数目与目标总数之比。假设共进行M次仿真实验，在单次实验仿真中目标的个数为N。第m次实验，第n个目标是否成功起始的标志为
；航迹起始成功率为iniPd。
需要说明的是，在仿真实验中，采用3个量测点进行起始，这3个量测点与对应目标量测点相同才会判定起始成功。
虚假航迹起始率同样是一个重要的衡量指标，以此来评估在每次实验中非真实目标被起始的概率。具体指的是在多次仿真实验中，起始的非目标航迹数目与起始总航迹数目之比。假设共进行M次仿真实验，单次实验仿真目标个数为N。第m次实验起始航迹总数为initranumm，其中非目标航迹数为iniFtranumm；虚假航迹起始率为iniPf。
2.3 仿真结果对比与分析
为了验证在强杂波环境下所提出的航迹起始算法的性能，本文通过对比不同杂波密度参数时运用的不同方法来验证所提算法的性能。仿真场景一在不同杂波密度下量测分布如图5所示，为不同杂波密度下的量测点迹分布图，其中红色点为目标量测点迹。
图5 场景一在不同杂波密度下量测点迹分布图
经过多重规则的约束筛选后，保留得到的量测点迹如图6所示，从图6中可以看出，不符合物理约束后的量测点迹被剔除，大幅度降低了进行参数空间变换的数据量。
图6 场景一在物理约束初筛后量测点迹分布图
经过基于Roberts的三维Hough变换筛选，最终得到的起始航迹如图7所示。
图7 场景一航迹起始结果图
为了验证所提方法的性能，与不同算法经过100次蒙特卡洛仿真后的结果进行对比。表1显示了当杂波密度参数λ分别为200、250、300和350时，所提方法与逻辑法和二维修正Hough变换的航迹起始率和虚假航迹起始率对比。从表1中可以看出随着λ的增大，航迹起始率降低，而且由于杂波点变多，量测数据量增大，虽然经过多层约束，筛掉大多数点迹，但过门限的点迹仍有所增加，虚假航迹起始率在逐步上升。从表1中可以看出所提算法的航迹起始成功率最高，虚假航迹起始率最低，证明了目标在高杂波环境下的起始性能。
表1 场景一在不同杂波密度参数下不同航迹起始方法性能
方法 参数iniPd 0.955 0.935 0.895 0.880 iniPf 0.154 0.197 0.241 0.325 Hough变换 iniPf 0.072 0.135 0.171 0.259 iniPd 0.990 0.982 0.975 0.968所提方法不同杂波密度参数值λ=200 λ=250 λ=300 λ=350逻辑法二维修正 iniPd 0.955 0.945 0.925 0.914 iniPf 0.048 0.079 0.141 0.168
仿真场景二在不同杂波密度下量测分布如图8所示，其中红色点为目标点迹。
图8 场景二在不同杂波密度下量测点迹分布图
经过多重规则的约束筛选后，仿真场景二在不同杂波密度下保留得到的量测点迹如图9所示。
图9 场景二在物理约束初筛后量测点迹分布图
经过基于Roberts的三维Hough变换筛选，场景二最终得到的起始航迹如图10所示。
图10 场景二航迹起始结果图
同样地，与不同算法经过100次蒙特卡洛仿真后的结果进行对比。表2显示了当杂波密度参数λ分别为200、250、300和350时，所提方法与逻辑法和二维Hough变换的航迹起始率和虚假航迹起始率对比。从表2中可以看出，在目标相距较近的情况下，由于交错航迹的出现，逻辑法和二维修正Hough变换方法的虚假航迹率高，同时随着λ的增大，虚假航迹起始率在逐步上升。而所提方法考虑了交错航迹的处理，同时三维直线特征检测有效抑制了虚假航迹的产生，在密集目标场景下同样获得了良好的性能。
表2 场景二在有不同杂波密度参数下不同航迹起始方法性能
不同杂波密度参数值方法 参数λ=200 λ=250 λ=300 λ=350iniPd 0.955 0.925 0.903 0.895逻辑法iniPf 0.644 0.695 0.755 0.821二维修正 iniPd 0.926 0.916 0.904 0.885 Hough变换 iniPf 0.532 0.602 0.672 0.732 iniPd 0.974 0.982 0.974 0.986所提方法iniPf 0.058 0.068 0.121 0.178
3 结束语
针对在高杂波动态场景下对目标进行航迹起始的实时处理效率与起始精度协同权衡问题，本文提出了一种基于Roberts直线表示的三维空间约束航迹起始算法。首先采用目标运动学先验约束对量测点迹进行筛选，过滤大量杂波点迹；随后为了充分利用径向距离、方位角和俯仰角三维量测信息，采用Roberts表示法构建空间直线轨迹的表征模型，将点迹转化为具备抗奇异性的稳定几何特征表达以此提高高杂波环境下目标的起始率。仿真结果表明，本文所提出的算法，与其他航迹起始算法对比，能够有效的提高目标的航迹起始率，并抑制虚假航迹起始率，提高了目标在高杂波场景中起始的鲁棒性。
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